Процесс обучения математики младших школьников

Одной из самых важных задач курса математики начальных классов является формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления. Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй – с их усвоением, т.е. прочным запоминанием.

Современное обучение должно проводиться таким образом, чтобы у учащихся возрастала потребность в более полном и глубоком ими усвоении материала, а также применения своей самостоятельности на уроке. В процессе обучения учащиеся должны овладеть системой знаний, умений и навыков табличного умножения и соответствующих случаев деления. Для этого необходимо, чтобы в уроке особое место занимали такие задания, которые обеспечивают активное участие в уроке каждого ученика, повышают ответственность школьников за результаты учебного труда.

Знание табличных случаев умножения и деления является основой внетабличного умножения и деления. Эти знания необходимы при формировании навыка устного умножения и деления многозначных чисел на однозначное и многозначное число, деления с остатком, а также при изучении письменных алгоритмов умножения и деления. Без быстрого и правильного воспроизведения табличных результатов невозможно дальнейшее обучение устному и письменному умножению и делению.

Составлению таблиц умножения (деления) предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приёмов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц.

В число таких вопросов входят: смысл действия умножения как сумма одинаковых слагаемых; смысл действия умножения как разбиения множества на равночисленные подмножества, переместительное свойство умножения; взаимосвязь компонентов и результата умножения.

Сознательное и прочное усвоение учащимися таблицы проходит в процессе активной умственной деятельности. Поэтому работу следует организовывать так, чтобы учебный материал становился предметом активных действий школьников.

Существуют различные подходы к составлению и заучиванию табличных случаев умножения и деления.

Умножение имеет следующие компоненты:

Первый множитель Второй множитель Значение произведения

2 * 3 = 6

1. Аксиоматическая теория рассматривает умножение, используя отношение «непосредственно следовать за» и основывается на аксиомах. Например:

5 · 1=5 (1 аксиома)

5 · 2=5·1`=5·1+5=10 (2 аксиома)

5 · 3=5·2`=5·2+5=10+5=15

5 · 4=5·3`=5·3+5=15+5=20

В начальных классах этот подход находит своё отражение. Умножение на 1 рассматривается, как правило: при умножении числа а на 1, получится число, которое умножали. Далее объясняется, что при умножении числа а на два – число большее на значение а, чем произведение а и 1, при умножении числа а на три – – число большее значение а, чем произведение а и 2 и т.д.

Составляется таблица умножения, например:

5·2=5+5=10

5·3=5+5+5=10+5=15

5·4=5+5+5+5=15+5=20

2. Теоретико-множественный подход.

Ознакомление начинается с решения задача типа: «Для 2 мальчиков, Димы и Севы, подбирают школу. Родителям понравились 3 школы. Сколько возможно вариантов подбора школ для мальчиков?» Решение объединим множество мальчиков А={a, b}, множество школ В={1,2,3}. Диму можно отправить в 1 школу, либо во 2 школу, либо в 3 школу. Аналогично можно поступит и с Севой. Запишем декартово произведение множества из пар: А·В={(a1), (a2), (a3)? (b1), (b2), (b3)}. Первое множество А содержит 2 элемента, второе множество В-три элемента, декартово произведение содержит 6 элементов, получилось, что 2·3=6.

3. В настоящее время получил широкое распространение подход к пониманию умножения как суммы одинаковых слагаемых, основанный на взаимосвязи умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств. Этот способ положен в основу введения понятия действия умножения в школьном курсе математики. Детям сообщается, что первый множитель показывает какое число нужно «взять», а второе слагаемое – сколько раз нужно «взять» это число, то есть, например, 3·5=3+3+3+3+3

Далее рассмотрим традиционный подход к изучению таблицы умножения.

В традиционной методике можно выделить 3 этапа:

1

этап – подготовительный.

На данном этапе учащиеся изучают основные теоретические вопросы, на которые опирается табличное умножение (теоретическая основа):

а) смысл умножения,

б) смысл деления

в) название компонентов и результата умножения,

г) особые случаи умножения единицы и нуля на число,

д) переместительное св-во умножения,

е) название компонентов и результата деления

ж) взаимосвязь между компонентами и результатом умножения,

з) особые случаи умножения и деления с числом 10,

и) изучение случаев умножения и деления, соответствующих таблице умножения двух,

2 этап – составление таблиц.

На данном этапе учащиеся составляют таблицы умножения и столбики соответствующих случаев умножения и деления. Можно выделить особенности составления этих таблиц:

· составление таблицы опирается на действия с предметами и использование числовых фигур;

· составление каждой таблицы начинается со случая умножения одинаковых множителей;

· изучая каждый столбик таблицы умножения, к нему составляются ещё 3 столбика. Данные 4 столбика включают:

1 столбик – умножение числа по первому постоянному признаку;

2 столбик – умножение по второму постоянному признаку (на основе переместительности);

3 столбик – деление на первый множитель (на основе взаимосвязи между компонентами и результатами умножения);

4 столбик – деление на второй множитель (на основе взаимосвязи между компонентами и результатом умножения).

Так как в современной начальной школе речь идёт о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приёмов, которыми учащиеся могут пользоваться при составлении этих таблиц. Но последовательность составления таблиц и организация деятельности учащихся, направленной на их усвоение, может быть различной.

Теоретико-множественная трактовка смысла действия умножения легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал.

Рассмотрим подробнее методику традиционной программы под редакцией Моро М.И.

Усвоение смысла действия умножения и деления позволяет учащимся самостоятельно справиться с составлением таблицы умножения. Переместительное свойство умножения позволяет сократить число табличных случаев, которые нужно заучивать наизусть. Так запоминание случаев 2 · 3 гарантирует знание случая 3 · 2 и т.д. Это позволяет каждую следующую таблицу начинать со случая умножения одинаковых множителей. В результате число случаев в каждой следующей таблице сокращается:

6 · 6

6 · 7

6 · 8

6 · 9

6 · 10

Для изучения последующих случаев умножения из таблицы необходимо составить второй столбик. Как мы уже сказали, на основе переместительного свойства умножения:

7 · 6

8 · 6

9 · 6

Использование зависимости между множителями и произведением позволяет из каждого табличного случая умножения получить два табличных случая деления. В результате число в каждом следующем случае сокращается:

36: 6

42: 7 42: 6

48: 8 48: 6

54: 9 54: 6

При заучивании таблиц учащиеся испытывают большие трудности, связанные с большим объёмом тех случаев умножения и деления, которые сразу предлагаются учащимся для заучивания.

3 этап – запоминание таблиц.

На первом уроке учащиеся составляют все четыре столбика таблицы, которые они должны запомнить. А на последующих уроках дети выполняют разнообразные упражнения, направленные на запоминание табличных случаев деления и соответствующих случаев умножения. Для учителя на этом этапе важно умело подбирать задания, успешно решающие данную задачу.

Рассмотрим методику работы по изучению таблицы на примере умножения четырёх и соответствующих случаев деления.

4 · 4

4 · 5

4 · 6

4 · 7

4 · 8

4 · 9

4 · 10

Используя зависимость между множителями и произведением, можем из каждого табличного случая умножения получить два табличных случая деления. В результате число в каждом следующем случае сокращается:

16:4

20:5 20:4

24:6 24:4

28:7 28:4

32:8 32:4

36:9 36:4

В подготовительную работу можно включить упражнения на нахождение неизвестного множителя (· 2 = 8, 3 · = 15), можно повторить таблицу умножения двух и трёх и соответствующие случаи деления, надо повторить также все известные детям примеры на умножение и деление с числом 4.

Затем переходят к составлению таблицы умножения четырёх по постоянному первому множителю.

Последними составляются записи к случаю 4 · 4: здесь получаются одинаковые выражения на деление.

Далее предлагается ученикам рассмотреть все выражения первой таблицы и сказать, что интересного они заметили. Дети должны ответить, что первые множители одинаковые, вторые множители увеличиваются на единицу, а произведение на 4 единицы. Так же сравниваются записи и других столбиков. Таким образом, дети устанавливают закономерности при составлении таблиц, которая поможет им осмысленно их заучивать, а также использовать при вычислениях в соответствующих случаях умножения (на основе переместительного свойства умножения) и деления.

Заучив все табличные случаи умножения и деления, выполняют в целях закрепления упражнения.

А теперь рассмотрим особенности подхода программы «Гармония» и автора учебника математики для учащихся начальных классов Истоминой Н.Б. к формированию навыков табличного умножения и деления, в котором выделяются также три этапа, описанные нами выше.

Ведущий российский методист и автор учебника по математике Истомина Н.Б., четко сформулировала особенности данной программы по исследуемой теме:

1) Первый этап – составление и усвоение таблиц умножения и деления включается в содержательную линию курса. Табличные случаи умножения учащиеся усваиваются в процессе изучения смысла умножения. Это позволяет предложить учащимся интересные содержательные упражнения и задания, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения». Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в на обобщающих уроках по теме «Умножение», где учащимся даётся задание, при выполнении которых они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. Из вышесказанного, мы можем сделать вывод, что сначала формируются навыки таблицы умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени и органически включается в содержательную линию курса. В процессе усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления включены задания на деление чисел, при выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения и взаимосвязь между компонентами.

Следующие особенности данного подхода к формированию навыка табличного умножения и деления:

2) составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 (от более трудного к более лёгкому), что позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток, заменяя произведение суммой, но также сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях таблицы умножения: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношению к которым даётся установка на запоминание.

3) Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определённой системе даются установки на запоминание трёх-четырёх табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована на запоминание определённых табличных случаев.

4) Для организации самостоятельной работы учащихся рекомендуется фиксировать все случаи табличного умножения на карточке. Например, на одной стороне выражение, а на другой – его значение. Аналогично надо поступать со всеми случаями таблицы деления, что поможет учащимся действовать при запоминании табличных случаев умножения и деления, а также осуществлять самоконтроль».

В процессе исследования мы также познакомились с подходом к интересующей нас теме в системе обучения Л.В. Занкова по учебнику И.И. Аргинской. При изучении табличного умножения и деления, автором выделено только два этапа в работе учащихся:

1 этап – ознакомление с теоретическими сведениями, в том числе с порядком действия в выражениях.

2 этап – изучение таблицы умножения и деления с помощью таблицы Пифагора.

И.И. Аргинская выделяет два подхода – прямой и косвенный, давая им подробную характеристику, указывая на преимущества косвенного.

«Прямой подход характеризуется наличием готового образца выполнения изучаемой операции и большим количеством готовых тренировочных упражнений, в процессе выполнения которых ученики овладевают навыком на основе репродуктивной деятельности, где владение навыком выступает как самоцель по принципу «решай, чтобы научиться решать». Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что учащийся получает готовую информацию, воспринимает её, понимает, осознаёт, запоминает, а затем сам воспроизводит. Основная цель этого вида деятельности – формирование у учащихся ЗУН, развитие внимания и памяти».

Главным преимуществом здесь является очень быстрое достижение требуемого результата, поэтому он так широко распространён и занимает прочные позиции в школьной практике. Однако есть и отрицательные стороны. И.И. Аргинская считает прямой подход «противоестественным, ведь человек овладевает технической стороной любого дела не как самоцелью, а ради решения актуальных для него задач. Преобладание репродуктивной деятельности в формировании вычислительных навыков значительно содержит возможность продвижение детей в развитии, а в настоящее время развитие школьников является приоритетной задачей обучения в любой системе».

Ирэн Ильинична указывает на преимущества косвенного подхода, используемого ею в учебнике «Математика. 3 класс» таким образом: «Высшей особенностью косвенного подхода к формированию навыков являются отсутствие готового образца выполнения операции, которой предстоит овладеть, самостоятельный поиск способов её выполнения самими учащимися, что сразу включает детей в продуктивную творческую деятельность.

Такой подход характеризуется высокой эффективностью процесса формирования навыков табличного умножения и соответствующих случаев деления полноценным осознанием теоретический и практических знаний, повышение интереса к математике. Недостатком является заметное увеличение времени, затрачиваемого на достижение результата».

Почему же система предпочитает именно косвенный подход к формированию вычислительных навыков?

Дело в том, что практически любое задание должно способствовать продвижению детей в развитии, а прямой подход полностью исключает этот компонент. Для формирования развития у детей познавательных интересов, необходимо заинтересовать их, что требует активных форм и методов обучения для пробуждения в детях активного восприятия материала. Наилучшему усвоению и запоминанию учащимися материала способствуют различные средства наглядности, а также таблицы, чертежи, схемы, применяющиеся на каждом уроке.

Особый интерес вызвала статья журнала «Начальная школа», где раскрыт совершенно другой подход к изучению табличного умножения и деления, который предлагает нам Степных В.А.

При работе над темой выделяется два этапа:

1. Ознакомление с действиями умножения и деления. Изучение переместительного свойства умножения. Установление связи между результатами и компонентами умножения и деления, а также между самими действиями. Ознакомление с особыми случаями умножения и деления. Знакомство с модернизированной таблицей Пифагора.

2. Изучение табличного умножения и деления. В связи с изучением случаев умножения и деления с десятками, нулём и единицей до изучения таблицы умножения и деления, у учащихся отпадает необходимость задавать вопрос: «Почему в таблице умножения нет результатов умножения с числами 1 и 10?»

После раскрытия смысла умножения и деления учитель знакомит учащихся с таблицей Пифагора. Структура этой таблицы аналогична структуре таблицы на сложение и вычитание в пределах 20, которую учащиеся изучали в 1 классе. Часть таблицы Пифагора выделена. При её удалении получится срезанная таблица Пифагора. При работе со срезанной таблицей Пифагора ученики чаще пользуются переместительным законом умножения. При работе с таблицей числа нужно искать по определённой системе:

· по строкам (сверху вниз);

· по столбцам (слева направо).

Это позволяет с минимальной затратой времени находить результаты таблицы умножения и деления.

Таблица умножения

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Изучение таблицы умножения всегда начинают от результата действия. Выявление всех случаев умножения и их результатов ведётся на числовых промежутках по таблице Пифагора:

1) от 1 до 10; 4) от 31 до 40;

2) от 11 до 20; 5) от 41 до 60;

3) от 21 до 30; 6) от 61 до 90.

1) Выясняется, что для запоминания требуется 5 случаев:

2 · 2 2 · 3 2 · 4 3 · 3 2 · 5

3 · 2 4 · 2 3 · 3 5 · 2

Выделяется таблица умножения с числом 2. Ученики доказывают, как получается в таблице с числом 2 каждое последующее число (оно больше на 2 единицы). Им предлагается сразу же запомнить результат, что с числами 4 и 9 можно составить только по одному примеру на умножение и деление, а с результатами 6, 8, 10 по два примера на умножение (с помощью применения правила о переместительном свойстве умножения) и по два примера на деление.

2) Для запоминания выделяют 6 различных случаев. Сначала выделяют результаты таблицы умножения с числом 2, составляются примеры умножения и деления:

2 · 6 2 · 7 2 · 8 2 · 9 3 · 5 4 · 5

3 · 4 7 · 2 4 · 4 9 · 2 5 · 3 5 · 4

4 · 3 8 · 2

6 · 2

Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, три и четыре примера на умножение и деление.

В числовом промежутке от 21 до 30 предлагается для запоминания 6 чисел:

3 · 7 3 · 8 5 · 5 9 · 3 4 · 7

7 · 3 8 · 3 3 · 9 7 · 4

6 · 4

4 · 6

5 · 6

6 · 5

Теперь обобщается таблица умножения трёх, выделяются другие случаи. Учащиеся делают вывод, как получается в таблице умножения с числом 3 каждый последующий результат. Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, четыре примера на умножение и деление.

3) от 31 до 40.

36 40

4 · 8 5 · 7 4 · 9 5 · 8

8 · 4 7 · 5 9 · 4 8 · 5

6 · 6

Выделяется таблица умножения на 4 и составляются примеры на деление по аналогии.

4) от 41 до 60.

Учащиеся находят по таблице Пифагора все результаты таблицы умножения.

Работа ведётся аналогично предыдущему этапу.

56

6 · 7 5 · 9 6 · 8 7 · 7 6 · 9 7 · 8

7 · 6 9 · 5 8 · 6 9 · 6 8 · 7

5) от 61 до 90:

7 · 9 8 · 8 8 · 9 9 · 9

9 · 7 9 · 8

Аналогично составляются таблица умножения на 7, 8, 9.

Учащиеся должны понять и запомнить, что с результатами 4, 9, 25, 49, 64, 81 можно составить только по одному примеру на умножение, с результатом 16 и 36 можно составить только три примера, с результатом 12, 18, 24 можно составить по четыре примера на умножение, а по остальным результатам – по два примера.

После ознакомления с таблицей умножения с числом 2 и соответствующим случаем деления на 2 учащиеся знакомятся с понятием чётных и нечётных чисел.

После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулём. Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0 · 5, 0 · 7, 0 · 9). Результат учащиеся находят сложением (0 · 2 = 0 + 0 = 0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руководствуются.

Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю» – учитель просто сообщает детям.

Затем оба эти правила применяются при выполнении различных упражнений на вычисления.

Деление нуля на любое число, не равное нулю, рассматривается на основе связи между компонентами и результатом умножения. В результате решения ряда примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим правилом.

Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении на нуль получится 8.

Такой подход изучения таблицы умножения способствует сознательному усвоению таблицы умножения и деления. Данная методика позволяет значительно сократить время изучения табличного умножения и соответствующих случаев деления, и в то же время способствует более глубокому и осознанному усвоению таблиц.

Таким образом, мы познакомились с несколькими методическими подходами к изучению табличного умножения и деления и формированию навыка табличного умножения:

– традиционным (учебник под ред. Моро М.И., Бантовой М.А., Бельтюковой Г.В.),

– программы «Гармония» (учебник под ред. Истоминой Н.Б.),

– системы обучения Занкова Л.В. (учебник под ред. Аргинской И.И.)

– подход Степных В.А.

Как мы видим из выше изложенного, каждый из них имеет общее:

– использование наглядного материала,

– использование различных интересных и содержательных упражнений и заданий,

– выполнение воспроизводимой операции по образцу,

– использование игровых заданий,

– знакомство с таблицей Пифагора.

При этом необходимо в следующем параграфе рассмотреть методические основы изучения табличного умножения и деления.

• Методические основы изучения табличного умножения и деления
• Методика и результаты проведения констатирующего этапа эксперимента
• Организация и проведения формирующего этапа эксперимента

Прочие статьи:

Варианты дидактических игр на закрепление, повторение и обобщение исторического материала
В данном разделе получили отражение как игры с правилами, так и ролевые и комплексные игры, дидактические особенности которых были рассмотрены в предыдущем разделе. Сюда не включены те игры, которые уже получили распространение в образовательной практике и достаточно полно отражены в литературе. К ...

Современные педагогические технологии
Образование — сложная система, являющаяся подсистемой индивидуальной культуры личности. В философии образования само понятие «образование» рассматривается как некое достояние личности, выявляющееся в ее поведении. Оно заключено в психике субъекта, принадлежит его индивидуальной культуре, формирует ...

Структура управления региональной системой общего образования в Челябинской области
Законом Челябинской области «Об образовании в Челябинской области» определены полномочия органов государственной власти в сфере образования. К ним относятся: 1) принятие законов Челябинской области и других нормативных правовых актов Челябинской области в сфере образования; 2) установление поряд ...

Меню сайта

• Главная
• Тест как объективное средство контроля
• Религиозное воспитание в семье
• Психологическая готовность ребёнка к школе
• Социализация и воспитание ребенка
• Виды и формы обучения
• Теория обучения
• Новая педагогика